Площадь равнобедренной трапеции авсд с основаниями вс и ад, описанной около окружности с центром о и радиусом 3см, равна 60 квадратных см. найдите радиус окружности, описанной около треугольника осд

внутренний угол равен 180 - (180 - 144)/2 = 180 - 18 = 162

сумма углов правильного многоугольника равна 180(n - 2)

162n = 180n - 360

18n = 360

n = 20

следовательно сумма углов равна 162*20 = 3240

(х-а)^2+(y-b)^2=r^2 - уравнение окружности

подставляем значения точек и получаем систему уравнений

(-3-а)^2+(0-b)^2=5^2

(5-a)^2+(0-b)^2=5^2

9+6a+a^2+b^2=25

25-10a+a^2+b^2=25

9+6a+a^2+b^2=25-10a+a^2+b^2

6a+10a=25-9

16a=16

a=1

9+6+1+b^2=25

b^2=9

b=3

отсюда уравнение окружности

(х-1)^2+(у-3)^2=25

2. из свойств медиан известно, что ma< (b+c)/2 mb< (a+c)/2 mc< (a+b)/2 сложим эти неравенства

ma+mb+mc< (b+c)/2+(a+c)/2+(a+b)/2=a+b+c=p

то есть, сумма длин медиан меньше периметра

пусть abc – треугольник, а точка o – точка пересечения медиан, тогда сумма двух сторо треугольника больше третьей

bo+oa> ba

ao+oc> ac

co+ob> cb

сложим эти неравенства

2*bo+2*ao+2*oc> ba+ac+cb

учитывая то, что

ao=2ma/3

bo=2mb/3

co=2mc/3

получим

2*2*ma/3+2*2*mb/3+2*2mc/3=ba+ac+cb

(4/3)*(ma+mb+mc)=ba+ac+cb

(ma+mb+mc)=(3/4)*(ba+ac+cb)

  назовем точки пересечения вписанной в трапецию окружности со сторонами вс и ад соответственно к и м. тогда км является высотой трапеции и равна 2-м радиусам окружности, т.е. 6см. площадь трапеции = (вс+ад)/2*км=60.   т.е. вс+ад=20. по теореме вписанной в 4-угольник окружности: вс+ад=ав+сд. но т.к. ав=сд, то ав=сд=20/2=10. в трапеции углы с и д односторонние, т.е. с+д=180. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. значит угол осд=всд/2 и сдо=сда/2. тогда осд+сдо=180/2=90. рассмотрим треугольник осд:   угол сод=180-(осд+сдо)=90. перейдем к описанной возле треугольника осд окружности. т.к. треугольник прямоугольный, то центр окр-ти лежит на середине гипотенузы. т.е. радиус = сд/2=10/2=5