Геометрия
Геометрия, 15.10.2019 04:00, ЯЯЯ1118526

Вопрос/Задача:

Втреуг. авс угол в 120. аа1, вв1, сс1 – биссектрисы его внутренних углов. док-ть, что угол а1в1с1 – прямой.

Ответы на вопрос

Ответ
Ответ разместил: Гость

решение:

обозначим стороны трапеции ab-x, bd-y,bc-z; углы bcd-c, dab-a, abd-b, bdc-d.

из условия угол c+угол a=90 гр

из прямоугольного δ dbc: угол c+угол d=90 гр =>

угол a=угол d; угол c =угол d, таким образом  δ adb подобный δ dbc, отсюда следует соотношения 2/y=x/18=y/z.

тогда 2z=y^2 => z=y^2/2

с другой стороны z=18y/x => получаем систему уравнений 1) 9=x*y, 2)из δ adb 2^2+y^2=x^2

во втором уравнении выражаем x через  y получаем уравнеие y^4 + 4*y^2=81, можно сделать замену переменных y^2=n,

  n^2+4*n-81=0, n1,2=(-4±√ (16+4*81))/2, находим n1≈-11; n2≈7. берём  n2≈7, тогда y^2=7 => y≈2,6, а x≈3,5. из δ dbc по пифагору y^2+z^2=18^2 находим z≈18,2. находим среднюю линию (18,2+2)/2=10,1 следовательно s=y*10,1=3,5*10,1=35,35 ед^2

 

не вижу, что исправлять. могу прислать другое решение:

выражаем bd из прямоуг. треуг. cbd и bdc 18 cos a = 2/cos a 18 cos^2 a =2 cos^2 a =1/9 cos a=1/3 bd = 6 bc = 18*2 sqrt(2)/3=12 sqrt(2) s=36 sqrt(2)+6   прим. равно 56,9116882 ед^2

Ответ
Ответ разместил: Гость

треугольник авс - равнобедренный треугольник (ав = ас), у которого угол между биссектрисой угла при вершине а (ао - биссектриса угла сав по определению биссектрисы) и боковой стороной ав равен 30 градусов. то есть угол вас = 60 градусов, и авс - равносторонний треугольник. ав = вс = 5 см.

Ответ
Ответ разместил: Гость

вторую диагональ х находим, исходя из того, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. в данном случае

12² + х² = 6² + 8² + 6² + 8²

144 + х² = 200

х² = 56

тогда

d₁² = 12² + 5² = 169  или  d₁ = 13 дм

d₂² = 56 + 5² = 81        или  d₂ = 9 дм.

 

Ответ
Ответ разместил: яна1764

обозначения ac = b; ab = c; bc = a; bb1 = z; bc1 = x; ba1 = y; a1c1 = p; a1b1 = n; b1c1 = m;

угол abb1 = угол b1bc = b/2 = 60°; поэтому косинусы этих углов равны 1/2;

угол abc = b = 120°, его косинус равен -1/2. 

(немного теории - на всякий случай)

площадь треугольника abb1 равна z*c*sin(b/2)/2; площадь треугольника вв1с равна z*a*sin(b/2)/2; поэтому

c*a*sin(b)/2 =  z*c*sin(b/2)/2 +z*a*sin(b/2)/2;  

откуда z = 2*a*c*cos(b/2)/(a + c)

(это - известная формула для длины биссектрисы).

при в = 120°; z = a*c/(a + c);

из известного свойства биссектрисы внутреннего угла x = c*a/(b+a); y = a*c/(b+c);

далее, из теоремы косинусов для треугольников bc1b1, bb1a1 и bc1a1

m^2 = x^2 + z^2 - x*z;

n^2 = y^2 + z^2 - y*z;

p^2 = x^2 + y^2 + x*y;  

поэтому 

m^2 + n^2 - p^2 = 2*z^2 - x*y - x*z - y*z;

это равно

2*(a*c/(a + b))^2 - (a*c)^2/((b + c)*(b + a)) -  (a*c)^2/((a + c)*(b + a)) -  (a*c)^2/((a + c)*(b + c));

если вынести множитель (a*c)^2/((a+c)^2*(b + c)*(b + a)) "за скобки", то в скобках останется

2*(b + c)*(b + a) -  (a + c)^2 - (a + c)*(b + c) - (a + c)*(a + b) =

(половина первого слагаемого комбинируется с третьим, другая половина - с четвертым слагаемым)

= (b + c)*(b + a - c - a) + (b + a)*(b + c - c - a) - (a + c)^2 = b^2 - c^2 + b^2 - a^2 - a^2 - c^2 - 2*a*c = 2*(b^2 - (a^2 + c^2 + a*с)) = 0; по теореме косинусов для треугольника авс.

поэтому m^2 + n^2 = p^2, то есть а1в1с1 - прямоугольный треугольник, угол а1в1с1 = 90°,  ч.т.д

Похожие вопросы

Вопросов на сайте: