
Вопрос/Задача:
Катети прямокутного трикутника =6 см і 8 см . знайдіть відстань між центрами вписаного і описаного кіл. розв"яжіть координатним методом, розмістивши трикутник у прямокутній системі координат.
Ответы на вопрос

1)av - биссектриса
по св-ву бисскетрисы => что ac\ab = cv\vb = 1\2
т.к. ab = 2ac => что угол abc = 30 градусов, угол cab = 60 градусов
ab = bc\cos30 = 12\корень из 3
ac = 6\корень из 3
2)cm - медиана
рассмотрим треугольник cam
am = 6\корень из 3 = ac
по теореме косинусов находим медиану
3)пусть ck - высота
рассмотрим треугольник akc
ak = accos60 = 3\корень из 3
kb = ab - ak = 3
kc^2 = ak kb = 9 корней из 3
4)sabc = cbac\2 = 18\корней из 3
p=(9+3корня из 3)\корень из 3
r = s\p = 6\(6+корень из 3)
r = abc\4s = 2\корень из 3

треугольник соd равнобедренный, т.к. со и оd радиусы. расстояние от хорды до центра это перпендикуляр ок. для треугольника соd это высота, а следовательно и биссектриса, и медиана. тогда углы сок и dок по 45 градусов. треугольник сок прямоугольный, а значит третий угол оск тоже 45 град. следовательно треуголь. сок равнобедренный, следовательно ок=ос=13 см. ск=кd=13см, т.к. треуголь. сок и dок равны ( по двум углам и общей стороне ок ). сd=26 см.


відкладемо катети трикутника по координатних осях, помістивши вершину прямого кута в початок координат
довжина гіпотенузи с = √ (a² + b²) = √ (6² + 8²) = 10
площа трикутника s = a * b / 2 = 6 * 8 / 2 = 24
радіус вписаного кола r = 2 * s / (a + b + c) = 2 * 24 / (6 + 8 + 10) = 2
отже, центр вписаного кола має координати (2; 2) (центр вписаного кола рівновіддалений від координатних осей)
центр описаного кола - середина гіпотенузи, тому його координати
((6 + 0) / 2; (0 + 8) / 2) = (3; 4)
отже, шукана відстань
d = √ ((3 - 2)² + (4 - 2)²) = √ 5