Вопрос/Задача:
Втреугольнике abc ac=bc=16 sin угла b=числитель 3 корня из 23 знаменатель 16 найдите ab
Ответы на вопрос
это вряд ли, насчет корня из трех, сейчас поглядим.
ясно, что сторона квадрата равна диаметру, то есть радиус окружности 2.
центральный угол, соответтствующий стороне вписанного пятиугольника равен 360/5 = 72 градуса., отсюда половина стороны равна r*sin(72/2) = 2*sin(36), а периметр, соответственно, 10*sin(36);
уж и не знаю, не похоже это на 9*корень( сейчас попробую вычислить.
ну, не равно, конечно, синус 36 градусов выражается через корень из 5 :
ответ для перметра 5*корень(5/2 - (1/2)*корень(
приводить вычисления синуса 36 градусов я тут не буду. вполне достаточно 10*sin(36).
между прочим, приближенно периметр будет 5,87785252292473,
а 9*корень(3) = 15,5884572681199, это почти в 3 раза больше.
все таки напишу, как синус вычисляется, для 18 градусов.
cos(18) = sin(72) = 2*cos(36)*sin(36) = 4*cos(36)*sin(18)*cos(18);
1 = 4*sin(18)*(1-2*(sin(18))^2);
пусть х = sin(18); тогда
8*x^3 - 4*x +1 = 0;
здесь самый трудный момент, этот кубический многочлен имеет один рациональный корень 1/2 (кстати, это наводит на мысль о существовании построения угла в 18 градусов на основании прямоугольного треугольника с углами 30 и 60, это надо обдумать). раз 1/2 - корень, то этот многочлен нацело делится на
(2*х - 1),
то есть представим в виде (это окончательный результат)
8*x^3 - 4*x +1 = (2*х - 1)*(4*х^2 + 2*x - 1) = 0;
у квадратного многочлена
4*х^2 + 2*x - 1
два корня, один из них - положительный
х1 = (корень(5) - 1)/4;
это и есть sin(18). вычислить теперь косинус, перемножить и умножить на 2 совсем не сложно, ответ я уже приводил.
надо же, как интересно! если построить равнобедренный треугольник с углами 72, 72 и 36 (приятное совпадение), то биссектриса угла 72 градуса делит его (треугольник) на 2 равнобедренных треугольника, один из которых (содержащий основание) подобен исходному, сама биссектриса же при этом равна основанию и отрезку боковой стороны, который она отсекает, - дальнему от основания (а докажите! : отсюда легко получить выражение величин углов 18, 36 и 72 градуса. но это - сами :
согласно теореме синусов
sin b sin c sin a
= =
ac ab bc
тогда ав = ас * sin с / sin b
треугольник авс - равнобедренный, поэтому
sin с = sin (π - 2*b) = sin 2*b = 2 * sin b * cos b
угол при основании равнобедренного треугольника всегда острый, поэтому
cos b = √(1 - sin²b) = √(1 - (3 * √ 23 / 16)²) = √(1 - 207 / 256) = √(49 / 256) = 7/16
тогда sin c = 2 * sin b * 7/16 = sin b * 7/8 , следовательно
ab = ac * 7 / 8 = 16 * 7 / 8 = 14
