Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. найти длины катетов этого треугольника

Угола=45гр. т.к сумма внутренних односторонних углов при секущей аб парал. пр.ад и бс равна 180гр. пусть бм-высота трапеции на основаниеад, тогда треуг. абм-прямоугольный и равнобедренный ам=бм. из вершины с проведем еще одну высоту на основание ад. пусть это будет ск. тогда четырехугольник мбск- прямоугольник, у него бс=мк=6 см.,бм=ск.значит, треугабм=треуг.дск( по 1 признаку равенства прямоуг. треуг.)следовательно ам=кд=х основание ад=ам+мк+кд 14=х+6+х 2х=8 х=4(ам=бм) ответ: бм-4см.

по теореме пифагора х^2+x^2=144

2x^2=144

x^2=72

ответ: 72 кв.см

у любого выпуклого n-угольника колличество диагоналей равно

0,5*n*(n-3)

в нашем случае   0,5*n*(n-3)=9

n*(n-3)=18

n^2-3n-18 =0

по т. виета n1=6; n2=-3(не удовлетворяет условию )

ответ: 6

радиус вписанной в прямоугольной треугольник окружности равен r=(a+b-c)\2

радиус  описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен r=c\2

где a, b-катеты, c - гипотенуза

 

отсюда с=2*5=10

a+b=2*2+10=14

 

по теореме пифагора a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=10^2=100

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100

14^2-2ab=100

2ab=196-100=96

ab=96: 2=48

 

a+b=14

ab=48

(6+8=14; 6*8=48)

по теореме обратной к теореме виета

a=6 b=8 или a=8, b=6

ответ: длины катетов 6 и 8